Risultato di due dadi "prendi il più alto" ?

[D@rK-SePHiRoTH-]

Partendo da due dadi uguali e scartando il risultato peggiore, qual è la media?

Non riesco a trovare una formula soddisfacente per calcolare al volo questo valore. I risultati che ottengo con calcoli esemplificativi mi appaiono privi di logica.

Siccome di statistica non so nulla (tranne quello che ho imparato da solo sperimentando sui numeri cioè come calcolare una media, come trovare una percentuale e quante combinazioni vengono fuori da XDY) , sto procedendo con un metodo empirico - ma non riesco a cavarne un ragno dal buco. Per ora ho notato che la presenza di numeri più alti cresce statisticamente a ritmo costante.

Ad esempio su 2D6 scartando il peggiore abbiamo i seguenti risultati:

1, 2, 3, 4, 5, 6

2, 2, 3, 4, 5, 6

3, 3, 3, 4, 5, 6

4, 4, 4, 4, 5, 6

5, 5, 5, 5, 5, 6

6, 6, 6, 6, 6, 6

quindi 1 sola combinazione che dia 1

3 per il 2

5 per il 3

7 per il 4

e così via...

Per calcolare questa media mi ritrovo quindi (su un D10 ad esempio) a fare una roba tipo:

1= 1 (1)

2= 3 (6)

3= 5 (15)

4= 7 (28)

5= 9 (45)

6= 11 (66)

7= 13 (91)

8= 15 (120)

9= 17 (153)

10= 19 (190)

Una volta sommato tutto (intendendo i numeri tra parentesi) lo divido per 100 (il numero di combinazioni possibili con 2D10) e il risultato finale è

7,15

Facendo un procedimento simile ma per il "take the lowest" ho scoperto che la media del "take the lowest" col d10 è 3,85

Se poi faccio la media tra 3,85 e 7,15 ottengo: 5,5 cioè la media normale di un d10

Ho notato che questo vale per qualsiasi dado.

Tuttavia non trovo una logica nel modo in cui sono disposti i vari risultati.

Ad esempio col d10:

1 + 2,85 = 3,85 (take the lowest)

3,85 + 1,65 = 5,5 (average)

5,5 + 1,65 = 7,15 (take the highest)

7,15 + 2,85 = 10 (highest)

ora a me sembra che tra 3,85, 5,5, 7,15 e le distanze che li separano (2,85 e 1,65) non ci sia alcuna relazione proporzionale sensata.

L'unica cosa che salta all'occhio è che la distanza tra la media e il "take the highest" e il "take the lowest" così come la distanza tra "take the lowest" e "lowest" e quella tra "take the highest" e "highest" è invariata.

vale per tutti i dadi infatti col D5 (media: 3) abbiamo

1 +1,2 = 2,2 (take the lowest)

2,2 +0,8 = 3 (average)

3 +0,8 = 3,8 (take the highest)

3,8 +1,2 = 5 (highest)

Ora, questo sistema andrà pure bene per numeri molto piccoli, ma se tirassimo in ballo il D100 oppure se aggiungessimo altri dadi avremmo bisogno di moltissimo tempo oppure di un software per fare questi calcoli.

Per qualche ragione che non comprendo sono fermamente convinto che una relazione proporzionale di qualche tipo (forse una curva?) deve esistere e deve essere costante e deve permettermi di calcolare queste medie con una formula.

Però non so quale sia.

Se qualcuno ne capisce di questa roba, qual è la soluzione?

Grazie.

[SolKanar]

Uhm. Non è banale.

A occhio, penso sia possibile calcolare le probabilità che esca un determinato numero su 2dX "take the highest" (TTH) e "take the lowest" (TTL) come combinazione di tutti i risultati che danno quel numero.

Per spiegarmi meglio, faccio un esempio con 2d6 TTH. La probabilità che esca 5 è uguale alla probabilità che sul dado1 esca 5 (1/6), e sul dado2 esca un numero inferiore a 5 (cioé risultati 1 oppure 2 oppure 3 oppure 4 -> 4/6), alla quale va sommata la stessa probabilità a parti invertite, quindi dado1 con numero < 5 e dado2 con numero 5, alla quale va ancora sommata la probabilità che escano due 5 (cioé 1/6 * 1/6 = 1/36).

Riassumendo:

- dado1=5, dado2<5 -> 1/6 * 4/6 => 4/36 +

- dado1<5, dado2=5 -> 4/6 * 1/6 => 4/36 +

- dado1=5, dado2=5 -> 1/6 * 1/6 => 1/36 =

-----------------------------------------

9/36

E se vediamo, nella tua tabella il 5 compare esattamente 9 volte su 36.

A questo punto, possiamo estendere il ragionamento a qualsiasi risultato su qualsiasi dado. Per fare una prova, prendiamo un d100 e risultato 42 (eheheh). La probabilità che esca 42 su 2d100 (risultati 1-100) TTH è:

- dado1=42, dado2<42 -> 1/100 * 41/100 => 41/1000

- dado1<42, dado2=42 -> 41/100 * 1/100 => 41/1000

- dado1=42, dado2=42 -> 1/100 * 1/100 => 1/1000

-------------------------------------

83/1000 = 0.083

Forse si può addirittura generalizzare con una formula la probabilità di uscita di un numero X su 2dY TTH. La formula ha un aspetto del tipo:

P(X) = [(X-1)*2 + 1] / Y*Y

Ora, sapendo questo, come facciamo a calcolare la media? *Credo* basti prendere la somma delle (probabilità di uscita di ciascun numero * il numero).

Vediamo se funziona con i 2d6 TTH.

La probabilità che esca 1 è 1/36

La probabilità che esca 2 è 1/6 * 1/6 + 1/6 * 1/6 + 1/6 * 1/6 = 3/36

La probabilità che esca 3 è 1/6 * 2/6 + 2/6 * 1/6 + 1/6 * 1/6 = 5/36

La probabilità che esca 4 è 1/6 * 3/6 + 3/6 * 1/6 + 1/6 * 1/6 = 7/36

La probabilità che esca 5 è 9/36

La probabilità che esca 6 è 1/6 * 5/6 + 5/6 * 1/6 + 1/6 * 1/6 = 11/36

La media è 1*1/36 + 2*3/36 + 3*5/36 + 4*7/36 + 5*9/36 + 6*11/36 = 4,472 (se non ho cannato i conti, cosa possibilissima).

Provando con 2d10 (avendone il tempo ) si può verificare se questo ragionamento concorda con i risultati che hai ottenuto.

EDIT: Ne ho avuto il tempo.

P(1) = 1/100

P(2) = 3/100

P(3) = 5/100

P(4) = 7/100

P(5) = 9/100

P(6) = 11/100

P(7) = 13/100

P(8) = 15/100

P(9) = 17/100

P(10) = 19/100

Media = 1/100 + 6/100 + 15/100 + 28/100 + 45/100 + 66/100 + 91/100 + 120/100 + 153/100 + 190/100 = 715/100 = 7.15

Direi che coincide con i tuoi dati.

RI-EDIT: Per 2dY TTL penso che il ragionamento sia simile. La probabilità che esca un certo numero X è uguale alla probabilità che sul dado1 esca X e sul dado2 un numero qualsiasi > X, più la probabilità del viceversa, più la probabilità che esca X su entrambi i dadi. Per 2d6, la probabilità P(5) che esca 5 diventa quindi: 1/6 * 1/6 + 1/6 * 1/6 + 1/6 * 1/6 = 3/36. P(2) = 1/6 * 4/6 + 4/6 * 1/6 + 1/6 * 1/6 = 9/36

Generalizzando, P(X) su 2dY TTL diventa:

P(X) = [(Y-X)*2 + 1] / Y*Y

[D@rK-SePHiRoTH-]

Forse si può addirittura generalizzare con una formula la probabilità di uscita di un numero X su 2dY TTH. La formula ha un aspetto del tipo:

P(X) = [(X-1)*2 + 1] / Y*Y

Scusa ma non si fa prima con

P(X) = [(X*2)-1] / (Y*Y) ?

Mi sembra più intuitivo in relazione alla tabella infatti 1 compare 1 volta, 2 compare 1+2 volte, 3 compare 1+2+2 volte (è la prima cosa che si nota se ci fai caso).

Ora, sapendo questo, come facciamo a calcolare la media? *Credo* basti prendere la somma delle (probabilità di uscita di ciascun numero * il numero).

E' quello che faccio anch'io solo che invece di farlo con le frazioni l'ho fatto con numeri interi. La differenza è che tu dividi ciascun numero per (Y*Y) prima di fare la somma mentre io prima ho fatto la somma e poi ho diviso per (Y*Y) tanto il risultato è lo stesso.

Ma siamo sicuri che non ci sia un metodo più veloce?

Più precisamente esiste una relazione costante tra valore minimo, valore massimo, media, valore TTH e valore TTL?

[SolKanar]

Scusa ma non si fa prima con

P(X) = [(X*2)-1] / (Y*Y) ?

Mi sembra più intuitivo in relazione alla tabella infatti 1 compare 1 volta, 2 compare 1+2 volte, 3 compare 1+2+2 volte (è la prima cosa che si nota se ci fai caso).

Sì

E' quello che faccio anch'io solo che invece di farlo con le frazioni l'ho fatto con numeri interi. La differenza è che tu dividi ciascun numero per (Y*Y) prima di fare la somma mentre io prima ho fatto la somma e poi ho diviso per (Y*Y) tanto il risultato è lo stesso.

Ma siamo sicuri che non ci sia un metodo più veloce?

Più precisamente esiste una relazione costante tra valore minimo, valore massimo, media, valore TTH e valore TTL?

Uhm, non saprei: è difficile controllarlo. Piuttosto, conviene scriversi quattro righe di codice in un qualsiasi linguaggio di programmazione, e fargli calcolare le statistiche che ti interessano inserendo come variabile le facce dei dadi.

[renthal]

Ho usato un metodo empirico: foglio excel che tira 2 dadi per 1000 volte, ne prende il massimo e fa la media...

I risultati sono circa questi:

Dado - media

d4 - 3,1

d6 - 4,5

d8 - 5,8

d10 - 7,1

d12 - 8,5

d20 - 13,8

d100 - 67

Tutto ciò è moooooooooooooolto approssimativo, e moooooolto approssimativamente si può dire che la media è su circa i 2/3 del massimo risultato del dado!

[Steppenwolf]

Fatto!!!

C'è voluto un po' ma eccomi qua.

In questo post parlerò del tiro più alto.

Partiamo da:

Scusa ma non si fa prima con

P(X) = [(X*2)-1] / (N*N) ?

Mi sembra più intuitivo in relazione alla tabella infatti 1 compare 1 volta, 2 compare 1+2 volte, 3 compare 1+2+2 volte (è la prima cosa che si nota se ci fai caso).

La spiegazione della formula "empirica" è che:

Lanciando i due dadi la probabilità che tu ottenga X dal primo è 1/N (ho cambiato con N il numero delle facce anche nel quote), e va moltiplicata per X/N (cioè la probabilità di ottenere un numero pari od inferiore ad X sul secondo dado).

Viceversa vale lo stesso se consideri il secondo dado e poi il primo hai la stessa probabilità.

Quindi sommando le due probabilità e sottraendo quella che capiti lo stesso numero su entrambi i dadi (altrimenti lo considereresti due volte) ottieni la formula già detta.

P(X) = [(X*2)-1] / (N*N)

Adesso la media di una variabile statistica discreta è SUM[X*P(X)] (con Sum indico la sommatoria da 1 a N).

Pertanto

Media = SUM [(2X^2-X)/N^2]

Adesso per le proprietà delle Sommatorie possiamo scrivere:

Media= [2*SUM(X^2) - SUM(X^2)]/N^2

Riconosciamo subito la prima come Sommatoria dei quadrati dei primi N numeri naturali, la seconda come sommatoria dei primi N numeri naturali (Formula di Gauss).

Sostituendo le dovute formule (reperibili in rete o calcolabili per induzione) otteniamo il risultato finale che è:

Media(TTH): [4*(N^2)+(3*N)-1]/[6*N]

Esempio nel caso d10:

Media = (400+30-1)/60=429/60=7.15

Ho usato un metodo empirico: foglio excel che tira 2 dadi per 1000 volte, ne prende il massimo e fa la media...

I risultati sono circa questi:

Dado - media

d4 - 3,1

d6 - 4,5

d8 - 5,8

d10 - 7,1

d12 - 8,5

d20 - 13,8

d100 - 67

Tutto ciò è moooooooooooooolto approssimativo, e moooooolto approssimativamente si può dire che la media è su circa i 2/3 del massimo risultato del dado!

E questo è concettualmente esatto per un numero di facce del dado molto alto.

Infatti la formula può essere riscritta come Media = (2/3)*N + 1/2 - [1/(6*N)].

Per valori grandi di facce del dado il termine 1/N tende a 0, mentre 1/2 diventa trascurabile.

[D@rK-SePHiRoTH-]

Io ti amo. Fama in arrivo appena le rimettono.

[Steppenwolf]

Grazie

Ma senza le vostre intuizioni iniziali non avrei mai fatto il calcolo...

Per il TTL si ottiene:

Media (TTL)= [(2N+1)*(N+1)] / (6*N)

Partendo da:

P(X) = [ 2*N - 2* X +1] / (N*N)

Anche la TTH può essere scritta in maniera più semplice:

Media(TTH): [(4*N-1)*(N+1)] / (6*N)