supporti di gioco Percentuali 2 - il ritorno

[Aleph]

Dunque, spero di azzeccare sezione, perché sinceramente non saprei dove altro metterlo..

essendo totalmente negato in statistica, vi chiedo ancora una mano nel calcolo di un po' di percentuali (il vecchio post non ho idea di dove sia finito..)

Definizioni:

Tiro alto: tira 3D10 e prendi il più alto (esempio: 3 - 5 - 8 si prende 8)

Tiro medio: tira 3D10 e prendi il valore del dado medio (esempio: 3 - 5 - 8 si prende il 5)

Tiro basso: tira 3D10 e prendi il valore più basso (esempio: 3 - 5 - 8 si prende 3)

in caso di parità, si prende uno dei due (tiro alto con risultato di 4 - 5 - 5 vale 5; tiro basso di 2 - 2 - 8 vale 2)

Problema 1: effettuando un tiro alto, quanta probabilità ho che esca ciascun valore? ed effettuando un tiro medio? ed effettuando un tiro basso? (quest'ultimo immagino sia l'inverso del primo, ma non ne sono sicuro)

Problema 2: se applico un bonus ad un tiro basso +x, quanto deve essere alto perchè il valore medio superi il valore medio del tiro medio? e stessa cosa, quanto devo sommare al tiro medio perché il valore medio superi quello di un tiro alto?

spero di essermi spiegato, anche se ne dubito.. c'è nessuno capace di aiutarmi?

[bobon123]

Tiro alto:

Probabilità di fare10 è pari a 1-(9/10)^3=0.279

Per il 9, (9/10)^3 * (1-(8/9)^3)=?

La successione prosegue come ovvio: per l'8, (8/10)^3 * (1-(7/8)^3).

Tiro basso è l'inverso. Dopo cena se ho tempo ti scrivo la formula per il tiro medio.

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[Aleph]

intanto grazie mille!

in poche parole con 3D10 ottenere come numero massimo un 10 è possibile poco più di un quarto delle volte?

inoltre, non ci capisco molto di sta cosa, ma il fatto che tutti gli altri due numeri devono essere più bassi o uguali al numero bersaglio influisce? nel senso, perché il valore più alto sia 4, per dire, gli altri devono essere 1, 2, 3 o 4.. quale parte della formula (dal 9 in giù suppongo) tiene conto di questo fattore? (non ci capisco molto, ma mi fa piacere imparare.. )

[bobon123]

intanto grazie mille!

in poche parole con 3D10 ottenere come numero massimo un 10 è possibile poco più di un quarto delle volte?

Sì. E la probabilità di ottenere 1 è 1/1000.

inoltre, non ci capisco molto di sta cosa, ma il fatto che tutti gli altri due numeri devono essere più bassi o uguali al numero bersaglio influisce? nel senso, perché il valore più alto sia 4, per dire, gli altri devono essere 1, 2, 3 o 4.. quale parte della formula (dal 9 in giù suppongo) tiene conto di questo fattore? (non ci capisco molto, ma mi fa piacere imparare.. )

In pratica la formula è divisa in due parti

P(N) = P(Nessun dado faccia più di N) * P (Almeno uno dei dadi sia N, dato che nessun dado ha fatto più di N)

Le due parti si calcolano facilmente

1) P(un dado faccia N o meno) = (N/10) -> P(Nessun dado faccia più di N) = (N/10) ^ 3

2) Se fosse semplicemente P(Almeno uno dei dadi sia N), sarebbe 1 - P (Nessuno dei dadi sia N) = 1 - (9/10)^3

Visto che è condizionata al fatto che nessun dado abbia fatto più di N, P(nessuno dei dadi sia N) è ((N-1)/N)^3 invece di 9/10. Questo lo vedi facilmente con un esempio: se sai che nessun dado ha fatto più di 4, quant'è la probabilità che un dado non abbia fatto 4? 3/4. Infatti può avere fatto 1, 2, 3 o 4, con uguale probabilità, e tre su quattro sono favorevoli. Senza l'informazione che nessun dado aveva fatto più di 4, i casi possibili erano 10, di cui 9 favorevoli (tutti tranne il 4).

Moltiplicando le due parti, ottieni la formula. Da notare che si semplifica in (3N^2-3N +1) /1000

Andiamo ora al tiro medio:

Calcoliamo a parte 10, è facile e ci sarà utile come prova: è pari alla probabilità di fare almeno due 10 con tre dadi, cioè P(fare due 10) + P(fare tre 10) = (1/10)^2*(9/10)*3 + (1/10)^3 = (3*9 + 1 ) / 10^3 = 0.028.

Idem per 1.

Per un generico N, dividiamo i casi. Si ottiene N se:

1) Ottengo un dado più alto di N, un dado pari a N, un dado più basso di N.

Le tre probabilità sono rispettivamente (10-N)/10, 1/10, (N-1)/10. Il prodotto è (10-N)*(N-1)/10^3

Questa però è la probabilità che esattamente il PRIMO dado faccia un valore più alto di N, il secondo faccia un valore uguale, etc. Invece ti vanno bene anche diverse combinazioni, cioè che il primo faccia un valore uguale e il secondo più alto, etc etc. Le possibili combinazioni sono 6. In tutto quindi, questo caso esce con probabilità 6*(10-N)*(N-1)/1000.

2) Ottengo due volte N e un valore più basso di N. La probabilità è ovviamente (1/10)*(1/10)*((N-1)/10). Le combinazioni sono ora solo 3.

3) Ottengo due volte N e un valore più alto di N. Probabilità (1/10)*(1/10)*((10-N)/10). Combinazioni ancora 3.

4) Ottengo tre volte N. Probabilità 1/1000. Una sola combinazione.

Sommando i quattro casi, ottengo P(N) = (6*(10-N)*(N-1) + 3*(N-1) + 3*(10-N) +1 )/1000 = (-6 N^2 + 66 N -32) /1000

Come controllo, verifichiamo i due casi che abbiamo visto all'inizio, 10 e 1. Per N = 10, (-600+660 -32) /1000 = 0.028. Per N=1, (-6+66-32)/1000 = 0.028. Sembra corretto.

Ora che hai le tre formule esatte per le probabilità al variare di N, tutti gli altri calcoli sono banali, è solo aritmetica. Puoi far fare tutto a Excel o simili.

Ricapitolo per comodità:

Tiro alto, P(N)= (3 N^2 - 3 N + 1) / 1000

Tiro basso, P(N)= (3 N^2 -63 N +331) /1000

Tiro medio, P(N)=(-6 N^2 + 66 N - 32) / 1000

[Blackstorm]

Bobon, il tiro medio in caso di due tiri uguali non è definito, nel op. Hai assunto che su due tiri uguali e uno più basso il tiro medio valga quanto i valori alti, ma non è detto.

[bobon123]

Se è per questo ho anche assunto che nel caso in cui tre tiri siano uguali si prenda quel valore a prescindere dal tipo di tiro, anche se il caso non è definito nell'OP.

Ma non vedevo altre possibilità. Anche perché quello che lui chiama tiro medio è in realtà "mediano", ho quindi continuato le proprietà della mediana ai casi in cui l'OP è stato vago. Non vedevo oltretutto altre possibilità, avevi in mente altre alternative?

[Blackstorm]

Se è per questo ho anche assunto che nel caso in cui tre tiri siano uguali si prenda quel valore a prescindere dal tipo di tiro, anche se il caso non è definito nell'OP.

Se i valori sono uguali è ovvio che si prenda quel valore a prescindere dal tipo di tiro, a meno di non voler ritirare, ma visto che le probabilità sono di 1/1000 di ottenere 3 valori uguali, non credo che influisca.

Ma non vedevo altre possibilità. Anche perché quello che lui chiama tiro medio è in realtà "mediano", ho quindi continuato le proprietà della mediana ai casi in cui l'OP è stato vago. Non vedevo oltretutto altre possibilità, avevi in mente altre alternative?

A occhio l'unica altra possibilità che mi viene è di ritirare, anche se non mi pare una scelta logica. Intendiamoci, sono d'accordo su come hai trattato, avrei fatto anche io così. Solo una cosa, che mi è sfuggita (sono parecchio arrugginito con il calcolo probabilistico ), come tratti il caso di un tiro medio in cui due valori sono uguali ma sotto il terzo? Così a occhio mi sembra che non abbia fatto distinzione, e che prendi il valore doppio ignorando il terzo a prescindere che sia più alto o più basso, ma chiedo per conferma.

[bobon123]

Solo una cosa, che mi è sfuggita (sono parecchio arrugginito con il calcolo probabilistico ), come tratti il caso di un tiro medio in cui due valori sono uguali ma sotto il terzo? Così a occhio mi sembra che non abbia fatto distinzione, e che prendi il valore doppio ignorando il terzo a prescindere che sia più alto o più basso, ma chiedo per conferma.

Esatto. Prendo la mediana dei 3 numeri. Se due sono uguali, la mediana è quel numero a prescindere dal terzo.

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[Aleph]

ok, qui si va ben oltre alle mie capacità possibili.. D:

non ho capito quasi nulla.. forse facevo meglio a non chiedere la spiegazione!

mi dispiace, ma a questo punto mi sa che mi servirebbe direttamente una tabellina con le percentuali e via.. :/ sareste così gentili da aiutarmi? *.*

altra domanda: qual'è la media di un tiro alto, basso e medio?

[bobon123]

non ho capito quasi nulla.. forse facevo meglio a non chiedere la spiegazione!

Ho provato a mettere tutti i passaggi, ma forse ti ho confuso più che aiutato.

Comunque ti ho scritto le formule alla fine, che sono chiare mi sembra.

Tiro alto, P(N)= (3 N^2 - 3 N + 1) / 1000

Tiro basso, P(N)= (3 N^2 -63 N +331) /1000

Tiro medio, P(N)=(-6 N^2 + 66 N - 32) / 1000

Se vuoi sapere la probabilità di avere un dato numero con un certo tipo di tiro, sostituisci semplicemente N nella rispettiva formula. Ad esempio la probabilità di avere 7 con un tiro basso è (3 * (7^2) - 63 * (7)+331) /1000 = (149-441+331)/1000 = 0.037.

[Aleph]

ottimo, perfetto, ora imposto una paginata excell e mi ci diverto un po'..

Grazie mille!

riguardo ai bonus? come mi devo comportare? nel senso, una volta che ho la percentuale che esca un dato numero come faccio a sapere qual'è il numero medio di un dato tiro (basso, mediano ed alto)? e come faccio a sapere a quanto corrisponde un bonus di +1 ad un tiro basso rispetto ad un tiro mediano? (si, sapevo che era la mediana e non la media, non sono del tutto ignorante a riguardo, era solo per comodità di scrittura.. ma forse è più pratico parlare di tiro mediano)

forse faccio meglio a mettere un esempio. mettiamo che si tratti di un gioco di ruolo (anzi, non mettiamo, è proprio così).. un'arma leggera infligge un tiro basso danni. se fornisco un bonus di +3, per dire, avrò un tiro medio più alto o più basso di un tiro mediano senza bonus?

[bobon123]

Un bonus di +1 funziona su tutti i dadi, o solo su uno o due?

Se funziona su tutti i dadi, la distribuzione di probabilità è semplicemente traslata, la probabilità di avere 2 con un tiro basso +1 è uguale alla probabilità di avere 1 con un tiro basso. L'effetto sulla media è uguale per tutti i tipi di tiro, aumenta semplicemente la media di 1. Quindi se devi fare il confronto tra un tipo di dado che ha media 2 e un altro che ha media 5, un bonus di 3 al più basso li rende in media uguali. Ovviamente spesso la media non serve a molto, ma questo dipende dal sistema.

Per calcolarti la media con i tre diversi tiri, una volta che hai impostato la colonna Excel che ti calcola tutte le probabilità P(N), e hai la colonna excel con i valori da 1 a 10 (N), fai semplicemente una terza colonna P(N)*N, e poi prendi la somma di questa colonna. Questo è il valore medio.

[Aleph]

mmmh dunque, mettiamo che un attacco infligga "tiro basso +2 danni", quindi tiro i miei dadi, faccio 2, 4 e 10, prendo il 2 e ci sommo 2, per un totale di 4. il valore medio di questo tiro, quanto si discosta dal valore medio di un tiro mediano senza alcun bonus?

riguardo alla media dei tre tiri: prendendo con esempio il 10 con un tiro alto, che ha il 27% circa di probabilità di avvenire, moltipico 10 x 0,27 e faccio la stessa operazione per tutti gli altri 9 risultati (9, 8, 7 e così via), una volta che li ottengo li sommo tutti e?

[bobon123]

riguardo alla media dei tre tiri: prendendo con esempio il 10 con un tiro alto, che ha il 27% circa di probabilità di avvenire, moltipico 10 x 0,27 e faccio la stessa operazione per tutti gli altri 9 risultati (9, 8, 7 e così via), una volta che li ottengo li sommo tutti e?

Esatto. In questo modo ti calcoli il valore atteso, o media, del tiro alto, del tiro mediano e del tiro basso. La media del tiro mediano è sicuramente 5.5 per ragioni di simmetria.

mmmh dunque, mettiamo che un attacco infligga "tiro basso +2 danni", quindi tiro i miei dadi, faccio 2, 4 e 10, prendo il 2 e ci sommo 2, per un totale di 4. il valore medio di questo tiro, quanto si discosta dal valore medio di un tiro mediano senza alcun bonus?

Una volta che hai la media del tiro basso, ci sommi due e la confronti con la media del tiro mediano.

[Aleph]

Dunque vediamo un po'.. utilizzando excell mi son venuti fuori i seguenti valori:

Tiro alto Tiro med. Tiro baso

1 0,001 0,028 0,271

2 0,007 0,076 0,217

3 0,019 0,112 0,169

4 0,037 0,136 0,127

5 0,061 0,148 0,091

6 0,091 0,148 0,061

7 0,127 0,136 0,037

8 0,169 0,112 0,019

9 0,217 0,076 0,007

10 0,271 0,028 0,001

Val. medio 7,975 5,5 3,025

Ti sembrano corretti? i valori medi del tiro alto e tiro basso sono simmetrici in base al tiro mediano giusto?

EDIT: ok, visti nella creazione del post sembravano più ordinati rispetto a come sono venuti fuori..

[bobon123]

Sì sì, sembrano corretti. Quindi circa +2.5 tra uno e l'altro.

[Aleph]

perfetto.. però a questo punto mi viene in mente: dare un +2 (o un +3) ad un tiro basso non è come fornire un tiro mediano al suo posto, cambia tutta la distribuzione delle probabilità.. quindi mi chiedo: quale dei due è più conveniente, per un giocatore? ricevere un +3 o tramutare un tiro basso in un tiro alto? del tipo tu, come giocatore, quale dei due preferiresti, come bonus?

[bobon123]

Dipende dal sistema di gioco.

Comunque non cambia moltissimo, perché le probabilità con i tre sistemi sono molto concentrate: con tiro alto fai molto facilmente 10-7, con tiro medio 4-7, con tiro basso 1-4. Essendo molto concentrate le code contano poco, e sommare 3 è molto simile a spostarsi di tiro.

Cambiano solo in casi molto specifici, quando il valore non è al centro della distribuzione e ti interessano le code.

Ad esempio se il nemico in media avesse 9HP, con un tiro alto avrei il 49% di ammazzarlo in un colpo, con un tiro medio +3 avrei il 50%, con un tiro basso +6 avrei il 51%. La probabilità di ucciderlo in due colpi è certa per il tiro basso +6, praticamente certa per il tiro medio +3, molto alta anche per il tiro alto. In questo caso, i tre tiri, aggiustati dai bonus, sono molto simili.

Ma se il nemico avesse invece 7HP, avrei il 78% di ucciderlo con un tiro alto, il 78% di ucciderlo con un tiro medio +3, ma il 100% di ucciderlo sul colpo con un tiro basso+6.

A occhio mi sembra che come meccanica non fornisca una grande variazione, è molto simile ad un bonus se non per pochi casi molto specifici. Però sarebbe invece molto diverso complicando appena (il calcolo diventa molto più difficile, e forse non interessante). Ti faccio qualche esempio:

- Il bonus conta solo su uno o due dadi, magari di colori diversi.

- Se si ottiene 10, si ritira e si somma (questo rende il tiro alto potenzialmente devastante).

- Ogni dado che tira 10, permette di ritirare uno degli altri due.

- Una qualche caratteristica permette di aumentare il numero di dadi. In tal caso la differenza in media tra tiro alto e basso cambia all'aumentare dei dadi.

[Aleph]

l'idea è che le armi forniscono questo "bonus", nel senso che il "tiro per colpire" è dato da 3D10, a cui ciascuno si somma un valore fisso e si confronta con una difficoltà: se due dadi superano la difficoltà si ha successo, se tutti e tre la superano si ha critico, se uno solo la supera si fallisce se tutti e tre non la superano fallimento critico. i danni a seconda dell'arma: se hai un'arma leggera è "basso", ovvero dei 3D10 usati per attaccare prendi il più basso, le armi ad una mano è "medio" e le armi a due mani è alto, aggiustate per le specifiche armi di +/-1 stando a ragionare su possibili bonus provenienti da varie fonti, mi chiedevo quanto fossero "importanti" rispetto al "alto, basso e mediano"..

[bobon123]

l'idea è che le armi forniscono questo "bonus", nel senso che il "tiro per colpire" è dato da 3D10, a cui ciascuno si somma un valore fisso e si confronta con una difficoltà: se due dadi superano la difficoltà si ha successo, se tutti e tre la superano si ha critico, se uno solo la supera si fallisce se tutti e tre non la superano fallimento critico. i danni a seconda dell'arma: se hai un'arma leggera è "basso", ovvero dei 3D10 usati per attaccare prendi il più basso, le armi ad una mano è "medio" e le armi a due mani è alto, aggiustate per le specifiche armi di +/-1 stando a ragionare su possibili bonus provenienti da varie fonti, mi chiedevo quanto fossero "importanti" rispetto al "alto, basso e mediano"..

E' carino per semplicità (il sistema del tiro per colpire è un po' un WoD semplificato) e simmetria, ma allora non metterei bonus e malus. Se devi mettere bonus e malus, allora tira direttamente 1d6 + qualcosa, il risultato è simile.