dnd 5e Probabilità vantaggiosa

[Gromund Felsbreaker]

Ciao a tutti! Ecco un rapido riferimento per calcolare le probabilità relative alla meccanica del vantaggio (per lo svantaggio c'è un commento in ognuna delle due sezioni) Scriverò poi un commento per esplicitare i calcoletti se siete interessati. Spero sia utile!

Probabilità di ottenere un risultato singolo

Questa è la più facile da calcolare.. ma quella che serve meno Semplicemente prendete il numero, moltiplicate per due, sottraete uno e infine dividete per 4. Quella è la probabilità in percentuale di ottenere quel preciso risultato, ossia:

p(n)= (2n-1)/4 [in percentuale].

Ma se non avete proprio lo sbatti di fare i calcoli, basta pensare che la probabilità di ottenere 1 è dello 0.25% e la probabilità aumenta di 0.5% per ogni numero successivo (0.75% per un 2, 1.25% per un 3 e così via, sino al 9,75% per un 20). Si noti che la probabilità aumenta con l'aumentare dei numeri: il 20 la fa da padrone, siccome uscirà (su un grande numero di lanci) quasi una volta ogni dieci lanci.

Si noti che le probabilità per lo svantaggio sono le medesime.. ma per il numero 21-n! (per esempio le probabilità di ottenere un 5 con svantaggio sono le stesse di ottenere un 16=21-5 con vantaggio).

Probabilità di ottenere almeno quel risultato

E' la probabilità che serve in D&D, ossia "con che probabilità posso superare quella CD?" Per qualche arcano motivo la probabilità (espressa sempre in percentuale, così forse è più maneggevole per qualcuno) ha questa formula in cui n rappresenta il risultato minimo del dado per superare la CD in questione:

P(n)= 100 - [(n-1)^2]/4

Per darvi un'idea: la probabilità di ottenere almeno 2 è del 99.75% (ovviamente, la stessa di prima di ottenere un 1), almeno 6 del 93.75%, almeno un 11 del 75%, almeno 16 del 43.75%, almeno 19 del 19% (combinazione! ).

Esempio 1: il mezz'orco Urk vuole superare una CD 20 di forza per spostare un masso gigantesco. Dopo aver provato senza successo un paio di volte con il suo modificatore +3 decide di cadere in ira = vantaggio alle prove di forza. Deve tirare un 17. Lo sbattiamo nella formula e otteniamo che Urk ha il 36% di riuscita, contro il 15% che aveva senza il vantaggio. La probabilità è più che raddoppiata! Vai Urk!

Facendo il calcolo al contrario si trova che il risultato medio usando la meccanica del vantaggio è 14.5 (approssimando). Non bisogna farsi fuorviare da questo numero: esso, Sì, SIGNIFICA che mediamente i risultati saranno di 4 punti più alti rispetto al d20 classico, ma nel senso che c'è tanta probabilità che esca un numero superiore o uguale a 15 quanta ce n'è che esca un numero inferiore. Ricordo che il numero con maggior probabilità di uscita non è il 15, ma il 20.

Per lo svantaggio non c'è simmetria perfetta questa volta (il grafico è sia simmetrizzato sia traslato, a chi è interessato posso spiegare il perché). La formula è diversa ed è (con la stessa notazione di cui sopra)

P(n)= [(21-n)^2]/4

Ovviamente vi fornisco alcuni esempi per avere qualcosa di concreto:

Probabilità di ottenere almeno 2 è 90,25%

Probabilità di ottenere almeno 6 è 56,25%

Probabilità di ottenere almeno 11 è 25%

Probabilità di ottenere almeno 16 è 6,25%

Probabilità di ottenere almeno 19 è 1%

Come ci aspettavamo il risultato medio (con tutte le premesse fatte sopra) con svantaggio è circa 6.5. L'asimmetria con il risultato di 14.5 sopra non deve soprendere: ci sono infatti tanti numeri tra 15 e 20 quanti tra 1 e 6 (e il risultato di 6.5 va letto come sopra: c'è -più o meno- tanta probabilità di un risultato di 6 o inferiore quanta quella un risultato di 7 o superiore quando si ha svantaggio).

Esempio 2: Il mezz'orco Urk si è ammalato, ma persevera nella sua missione di spostare massi con CD 20. Questa volta deve ottenere un 17 (data la sua forza +3) con svantaggio. Sbattiamo il 17 al posto di "n" nella formula dello svantaggio e scopriamo che Urk ha una probabilità del 4%. E' quasi un quarto del 15% che avrebbe essendo in buona salute. Povero Urk.

Spero sia abbastanza chiaro! Chiedete pure se c'è qualcosa che non torna/che volete approfondire/che non avete capito (probabilmente prechè mi sono espresso male)

[Gromund Felsbreaker]

Breve spiegazione dei calcoletti per dimostrare che il non possiedo il background "Ciarlatano". Metto tutto sotto spoiler per non appesantire troppo la scrittura

Spoiler:  

Parte 1

Bisogna partire dalla distribuzione di probabilità. Notiamo subito che (essendo due d20) lo spettro contiene 400 casi. Ogni probabilità di uscita di un singolo numero si ottiene con:

numero di casi in cui viene ottenuto tale numero/400.

Abbiamo due variabili aleatorie discrete con probabilità costante. Per l'uscita di un numero N è necessario che:

a) almeno uno dei due dadi sia N

l'altro dado segni un numero minore o uguale a N.

Un occhio allenato vede subito che il numero di casi è dato da 2n-1, ma vediamo perché. Ipotizziamo di avere un dado rosso ® e uno blu (.

La probabilità di ottenere un 1 è una sola su quattrocento, ossia quando si ottiene un doppio uno coi nostri dadi: p(1)=1/400. I casi in cui si ottiene un 2 sono 3, ossia quando R segna (=) 1 e B=2, R=2 e B=2, R=2 e B=1. Quelli in cui si ottiene 3 sono 5, ossia R=3 B=1, R=3 B=2, R=3 B=3, R=2 B=3, R=1 B=3. Avete già capito la solfa? Esatto, 4 si ottiene 7 volte, 5 9 e così via seguendo la successione dei numeri dispari fino a 39, che sono i casi in cui esce 20.

Questo è dovuto perché nel conteggio della statistica per ogni dado vanno bene N casi (ossia quando l'altro segna il numero N), ma non va conteggiata due volte l'intersezione (ossia quando TUTTI E DUE i dadi segnano N). Ricordiamoci che i casi sono in fin dei conti dei "quattrocentesimi" di probabilità e abbiamo tutto.

Conclusione della prima parte: ogni risultato n ha una probabilità pari a (2n-1)/400 o, in percentuale, (2n-1)/4

Cosa si nota? Beh, che la probabilità cresce linearmente con il risultato, non è più costante! Azzardiamoci ad utilizzare il termine "retta" per una variabile a valori discreti la cui funzione di probabilità si presenta così per n che va da 1 a 20: P(n)= (1/200)n-(1/400). Forse viene più intuitivo (e più comodo nei conti, per non stare sempre a dividere tutto per 400) considerare i sopracitati "quattrocentesimi di probabilità": consideriamo la probabilità certa come 400 "stiracchiando" quei valori che prima erano compresi tra 0 e 1. Per non creare confusione la chiamo X.

Si ha: P(n)= 2n-1. Più facile, no? In seguito sarà più chiaro il motivo di questa semplificazione.

Parte 2

Calcolare il risultato di ottenere "almeno TOT" è compito della funzione di ripartizione. "Riuscire" in un tiro di dado per cui ci serve un 17 significa sommare le probabilità di ottenere 20, 19, 18 e 17. Il che significa sommare 39+37+35+33.. ma questo, volta per volta, quanto fa?

Il modo rapido per risolvere questo calcolo (o almeno quello più rapido che ho trovato) è utilizzare la serie di Archimede, per cui la somma dei primi TOT numeri dispari vale TOT^2 (^2= "al quadrato"). A noi ciò è molto comodo, siccome siamo riusciti ad assegnare ad ogni risultato del d20 proprio il numero dispari corrispondente (ma che combinazione!).

Ovviamente noi non dobbiamo sommare i primi numeri dispari, ma gli ultimi che ci interessano partendo dal ventesimo a decrescere. Quindi per fare ciò dobbiamo sommare tutti e venti i valori di probabilità (=400) e sottrarre la somma delle probabilità associate ai valori che non ci interessano (capisco che il lessico si stia appesantendo, ma manca poco!) che, volendo un risultato N o superiore, saranno i primi N-1.

Si ottiene quindi P(di ottenere un risultato maggiore o uguale a n con vantaggio)= 400 - (n-1)^2. Essendo il ragionamento in base 400 basta dividere per 4 per ottenere le percentuali e per 400 per probabilità reali.

Tuttavia mentre prima si poteva benissimo ribaltare il discorso per lo svantaggio, qua non si può più! Questo perché continuiamo (proprio per i vincoli che ci impone il sistema di gioco) a dover ottenere un risultato maggiore o uguale alla nostra CD. Per "ribaltare" l'associazione numerica Risultato del dado -> numeri dispari dobbiamo passare alla trasformazione 21-n, che però stavolta rappresentano i casi buoni, non quelli da scartare.

Si ha questa volta P(di ottenere un risultato maggiore o uguale a n con svantaggio)= (21-n)^2, sempre in base 400 (visto che aiuta?)

Commento sulla media

Spostato nel post successivo per maggior visibilità.

Non so a chi interessi tutta questa pappardella, ma se qualcuno trova degli errori o ha semplicemente delle osservazioni da fare lo invito caldamente a rispondere alla discussione.

Io mi sono solo divertito a farla

[Adespoto]

Ottimo contributo, approfondito.

Approfitto per lodare il sistema del vantaggio/svantaggio per tre motivi:

1) Perchè si ritira il dado e questo, nella psiche dei giocatori con i quali mi sono confrontato, è un qualcosa di sempre desiderato. Il dado è un giudice schietto e difficile, spesso inappellabile, così poter "ritirare" il dado sfortunato è la traduzione pratica di quello che il giocatore vorrebbe, il vantaggio di poter "ripetere il tiro", cosa si può chiedere di più ad un master?

2) Perchè non può essere rappresentato da un unico bonus statico. L'analisi fatta è correttissima, e si può vedere come il "peso" della influenza netta del meccanismo varia, per cui il vantaggio ci aiuta ad ottenere almeno un 20 come un bonus di +1, ci aiuta a ottenere almeno un 19 come un bonus di +2, e così andando fino a contribuire con un equivalente di +5 al tiro per un 11 o più. Offre quindi un maggior dinamismo, modificando molto le situazioni intermedie, ed interferendo meno in quelle "estreme"

3) Perchè il vantaggio/svantaggio, proprio per quanto detto al punto 2 si lega bene con la bounded accuracy, che non ne viene intaccata, e non è poco. Viene garantito un grosso vantaggio statistico senza però compromettere il concetto di difficoltà fissa, proprio perchè il vantaggio è contenuto negli estremi e non permette comunque di scavalcarli.

P.S: Ovviamente ci sono dei contro, è una altra regola in stile 5e, semplice, immediata e priva di molti fronzoli che può sembrare anche un po' troppo semplice, non rendendo bene la complessità del sommare assieme diversi bonus/malus o del differenziare le varie situazioni di "vantaggio" l'una dall'altra.

[SilentWolf]

Grazie della spiegazione, Gromund. ^ ^

In questo modo ora si nota come la regola dello Svantaggio/Vantaggio influenzi in maniera significativa il risultato del tiro.

E' molto più chiaro con questo ragionamento, piuttosto che attraverso il cercare di interpretare il Vantaggio/Svantaggio come se fosse un malus +/-3 o +/-4.

Insomma, il Vantaggio aumenta in maniera esponenziale la probabilità che escano risultati alti, mentre lo Svantaggio aumenta in maniera esponenziale la probabilità che escano risultati bassi.

Ciò che mi ha sorpreso nel leggere il tuo post è il fatto che questo tipo di meccanica rende l'1 e il 20 i risultati più probabili.

Davvero notevole.

Significa che il Vantaggio, ad esempio, è una risorsa per nulla banale, in grado di cambiare radicalmente gli esiti di una prova.

E' molto più di un semplice bonus.

Ora credo di capire meglio cosa ha spinto i designer a inserire la regola secondo la quale un solo Svantaggio può anullare qualunque Vantaggio si possieda e, viceversa, un solo Vantaggio può anullare qualunque Svantaggio si riceva.

Possedere un vantaggio significa possedere una risorsa in grado di assicurare praticamente il successo. Al contrario, lo Svantaggio assicura quasi certamente la sconfitta.

Poi, beh, anche nei più perfetti conti probabilistici non si può fare a meno di tenere presente il cosiddetto "Fattore Sfiga"...

Gli americani hanno già, infatti, soprannominato "Sadvantage" la circostanza in cui, tirando un Vantaggio, i risultati di entrambi i d20 sono bassi...

[Ospite]

Grazie per lo sbatti. Giusto una domanda: se ho capito bene p(n)= (2n-1)/4 è la percentuale di ottenere un risultato singolo quando si ha vantaggio. E quando si ha svantaggio? Immagino sia possibile derivare una formula analoga.

[Gromund Felsbreaker]

Grazie della spiegazione, Gromund. ^ ^

In questo modo ora si nota come la regola dello Svantaggio/Vantaggio influenzi in maniera significativa il risultato del tiro.

E' molto più chiaro con questo ragionamento, piuttosto che attraverso il cercare di interpretare il Vantaggio/Svantaggio come se fosse un malus +/-3 o +/-4.

Insomma, il Vantaggio aumenta in maniera esponenziale la probabilità che escano risultati alti, mentre lo Svantaggio aumenta in maniera esponenziale la probabilità che escano risultati bassi.

Ciò che mi ha sorpreso nel leggere il tuo post è il fatto che questo tipo di meccanica rende l'1 e il 20 i risultati più probabili.

Davvero notevole.

Significa che il Vantaggio, ad esempio, è una risorsa per nulla banale, in grado di cambiare radicalmente gli esiti di una prova.

E' molto più di un semplice bonus.

Ora credo di capire meglio cosa ha spinto i designer a inserire la regola secondo la quale un solo Svantaggio può anullare qualunque Vantaggio si possieda e, viceversa, un solo Vantaggio può anullare qualunque Svantaggio si riceva.

Possedere un vantaggio significa possedere una risorsa in grado di assicurare praticamente il successo. Al contrario, lo Svantaggio assicura quasi certamente la sconfitta.

Poi, beh, anche nei più perfetti conti probabilistici non si può fare a meno di tenere presente il cosiddetto "Fattore Sfiga"...

Gli americani hanno già, infatti, soprannominato "Sadvantage" la circostanza in cui, tirando un Vantaggio, i risultati di entrambi i d20 sono bassi...

Ahah, bella definizione In fondo al post leggermente più "tecnico" avevo scritto un interpretazione che effettivamente è meglio se riporto qui, siccome fa vedere sotto una luce leggermente diversa il vantaggio:

Commento sulla media

Per calcolare la media del vantaggio basta risolvere il calcolo (1/400)*(1*1+2*3+3*5+...+19*37+20*39)= qualcosa intorno al 15. E tutti a dire che il vantaggio alza di 5 il risultato.. Ma non è così! Se 15 è il risultato "medio" significa che se faccio un googol di lanci, li sommo tra loro e poi divido tutto per un googol ottengo 15. Il che vuol dire qualcosa, ma non tutto. Ecco perché inviterei tutti gli interessati a guardare alla faccenda con occhi diversi.

Tengo molto al fatto che non venga travisato il significato di MEDIA in questi casi di variabile discreta. Uno dei modi per notarlo è quello di calcolarla NON in modo classico, ma "alternativo" per mettere in luce la non continuità del sistema considerando i 20 risultati del dado come 20 scatolette ordinate in cui sono distribuite 400 palline. Nella prima scatoletta vi è una pallina, nella seconda tre e così via (come abbiamo visto nella prima parte) fino alla ventesima scatoletta che contiene 39 palline. Soffermiamoci un istante in mezzo tra la scatoletta "14" e la "15". Da una parte (dove ci sono 14 scatole) abbiamo 196 palline e dall'altra (dove ce ne sono 6) ben 204. Approssimando un poco si capisce che grazie alla meccanica del vantaggio abbiamo il 50% di ottenere uno dei primi 14 numeri del d20 e il 50% distribuito sui restanti 6. Cioè, il 50% distribuito su solo sei numeri, non è poco.

Interpretazione:

Parlare di media con la meccanica del vantaggio è proprio riduttivo, perché un giocatore senza basi di probabilità non si rende conto che non solo la media si è spostata, ma anche e soprattutto che la forma della probabilità è cambiata (se mi passate il termine colloquiale). Con la meccanica del vantaggio la probabilità di ottenere un numero maggiore o uguale a 11 è il triplo di quella di ottenere un numero pari a 10 o inferiore. Addirittura si ha più probabilità di tirare un 19 o un 20 rispetto a quella contenuta nei primi otto numeri! (con magno gaudio dei guerrieri "champions"). La presenza di una variabile discreta porta altre problematiche.

Cosa c'è "in mezzo alle scatole"?

Eh, in mezzo non c'è proprio nulla, tra le scatolette c'è il vuoto. Chi dice che "la media ottenuta col vantaggio è pari a 14.64261902 (e continua con un centinaio buono di cifre decimali) dice qualcosa che alla fine non ha un effetto reale sul gioco e sicuramente meno tangibile del buon vecchio "10.5" cui eravamo abituati. Ecco perché prima ho usato la dicitura "14,5", non del tutto corretta: per indicare qualcosa "a metà" (e sono volutamente vago). Possiamo dire in prima approssimazione:

Utilizzando la meccanica del vantaggio la probabilità di ottenere un risultato maggiore o uguale a 15 è la stessa di ottenere un risultato minore o uguale a 14.

Utilizzando la meccanica dello svantaggio la probabilità di ottenere un risultato maggiore o uguale a 7 è la stessa di ottenere un risultato minore o uguale a 6

Grazie per lo sbatti. Giusto una domanda: se ho capito bene p(n)= (2n-1)/4 è la percentuale di ottenere un risultato singolo quando si ha vantaggio. E quando si ha svantaggio? Immagino sia possibile derivare una formula analoga.

Grazie a te che lo hai letto Sì, per lo svantaggio la formula è analoga e bisogna fare una trasformazione (che è tra parentesi nell'ultima riga della prima parte). Comunque ti esplicito il calcolo.

P(n)=(41-2n)/4 -> Probabilità di ottenere esattamente il numero N su due d20 con la meccanica dello svantaggio.

Si nota che i risultati sono "simmetrici" a quelli del vantaggio: la probabilità di ottenere un 1 con svantaggio è la stessa di ottenere un 20 con vantaggio, così come la probabilità di ottenere un 5 con vantaggio è la stessa di ottenere un 16 con svantaggio.

Curiosità: La probabilità di ottenere un dieci e quella di ottenere un undici come risultato singolo sono praticamente al 5% sia con vantaggio, sia con svantaggio, sia con un tiro singolo di d20. (nell'ultimo caso esse sono esattamente al 5%, negli altri due si scostano di uno 0.25%)