Breve spiegazione dei calcoletti per dimostrare che il non possiedo il background "Ciarlatano". Metto tutto sotto spoiler per non appesantire troppo la scrittura
Spoiler:
Parte 1
Bisogna partire dalla distribuzione di probabilità. Notiamo subito che (essendo due d20) lo spettro contiene 400 casi. Ogni probabilità di uscita di un singolo numero si ottiene con:
numero di casi in cui viene ottenuto tale numero/400.
Abbiamo due variabili aleatorie discrete con probabilità costante. Per l'uscita di un numero N è necessario che:
a) almeno uno dei due dadi sia N
l'altro dado segni un numero minore o uguale a N.
Un occhio allenato vede subito che il numero di casi è dato da 2n-1, ma vediamo perché. Ipotizziamo di avere un dado rosso ® e uno blu (.
La probabilità di ottenere un 1 è una sola su quattrocento, ossia quando si ottiene un doppio uno coi nostri dadi: p(1)=1/400. I casi in cui si ottiene un 2 sono 3, ossia quando R segna (=) 1 e B=2, R=2 e B=2, R=2 e B=1. Quelli in cui si ottiene 3 sono 5, ossia R=3 B=1, R=3 B=2, R=3 B=3, R=2 B=3, R=1 B=3. Avete già capito la solfa? Esatto, 4 si ottiene 7 volte, 5 9 e così via seguendo la successione dei numeri dispari fino a 39, che sono i casi in cui esce 20.
Questo è dovuto perché nel conteggio della statistica per ogni dado vanno bene N casi (ossia quando l'altro segna il numero N), ma non va conteggiata due volte l'intersezione (ossia quando TUTTI E DUE i dadi segnano N). Ricordiamoci che i casi sono in fin dei conti dei "quattrocentesimi" di probabilità e abbiamo tutto.
Conclusione della prima parte: ogni risultato n ha una probabilità pari a (2n-1)/400 o, in percentuale, (2n-1)/4
Cosa si nota? Beh, che la probabilità cresce linearmente con il risultato, non è più costante! Azzardiamoci ad utilizzare il termine "retta" per una variabile a valori discreti la cui funzione di probabilità si presenta così per n che va da 1 a 20: P(n)= (1/200)n-(1/400). Forse viene più intuitivo (e più comodo nei conti, per non stare sempre a dividere tutto per 400) considerare i sopracitati "quattrocentesimi di probabilità": consideriamo la probabilità certa come 400 "stiracchiando" quei valori che prima erano compresi tra 0 e 1. Per non creare confusione la chiamo X.
Si ha: P(n)= 2n-1. Più facile, no? In seguito sarà più chiaro il motivo di questa semplificazione.
Parte 2
Calcolare il risultato di ottenere "almeno TOT" è compito della funzione di ripartizione. "Riuscire" in un tiro di dado per cui ci serve un 17 significa sommare le probabilità di ottenere 20, 19, 18 e 17. Il che significa sommare 39+37+35+33.. ma questo, volta per volta, quanto fa?
Il modo rapido per risolvere questo calcolo (o almeno quello più rapido che ho trovato) è utilizzare la serie di Archimede, per cui la somma dei primi TOT numeri dispari vale TOT^2 (^2= "al quadrato"). A noi ciò è molto comodo, siccome siamo riusciti ad assegnare ad ogni risultato del d20 proprio il numero dispari corrispondente (ma che combinazione!).
Ovviamente noi non dobbiamo sommare i primi numeri dispari, ma gli ultimi che ci interessano partendo dal ventesimo a decrescere. Quindi per fare ciò dobbiamo sommare tutti e venti i valori di probabilità (=400) e sottrarre la somma delle probabilità associate ai valori che non ci interessano (capisco che il lessico si stia appesantendo, ma manca poco!) che, volendo un risultato N o superiore, saranno i primi N-1.
Si ottiene quindi P(di ottenere un risultato maggiore o uguale a n con vantaggio)= 400 - (n-1)^2. Essendo il ragionamento in base 400 basta dividere per 4 per ottenere le percentuali e per 400 per probabilità reali.
Tuttavia mentre prima si poteva benissimo ribaltare il discorso per lo svantaggio, qua non si può più! Questo perché continuiamo (proprio per i vincoli che ci impone il sistema di gioco) a dover ottenere un risultato maggiore o uguale alla nostra CD. Per "ribaltare" l'associazione numerica Risultato del dado -> numeri dispari dobbiamo passare alla trasformazione 21-n, che però stavolta rappresentano i casi buoni, non quelli da scartare.
Si ha questa volta P(di ottenere un risultato maggiore o uguale a n con svantaggio)= (21-n)^2, sempre in base 400 (visto che aiuta?)
Commento sulla media
Spostato nel post successivo per maggior visibilità.
Non so a chi interessi tutta questa pappardella, ma se qualcuno trova degli errori o ha semplicemente delle osservazioni da fare lo invito caldamente a rispondere alla discussione.
Io mi sono solo divertito a farla